Der amerikanisch-französische Mathematiker Benoît Mandelbrot ist zu einem grossen Teil verantwortlich dafür, dass in den 1980er Jahren das Interesse an fraktaler Geometrie und Chaostheorie aufkam.
Fraktale sind zunächst nur mathematisch definierte Objekte, die nicht ein-, zwei- oder dreidimensional sind, sondern irgendetwas dazwischen. Ein Fraktal ist also weder ganz Linie noch ganz Fläche, weder ganz Fläche noch ganz Körper. Anschaulich vorstellen kann man sich das nicht. Trotzdem existieren in der Natur Objekte, die solchen Fraktalen nahekommen, zum Beispiel eine Küstenlinie, Schneeflocken oder Schwämme. In ihnen findet man sich wiederholende Strukturen, die einander bei grober Betrachtung wie auch im Detail ähnlich sind. Man spricht deshalb auch von Selbstähnlichkeit.
Bei einer Schneeflocke beispielsweise sitzen an allen sechs „Zacken“ kleine sechszackige Auswüchse, an deren Zacken erneut entsprechend kleinere sechszackige Sternchen entspringen – und so weiter. Ebenso zeigt ein Schwamm bei jeder Vergrösserungsstufe ein typisches Muster aus Hohlräumen und Zwischenwänden. Ein besonders schönes Beispiel für fraktale Geometrie in der Natur ist der Romanesco, eine grüne Blumenkohlart.
Mandelbrot entwickelte das Konzept der Fraktale, um diese erstaunlichen Eigenschaften der Natur beschreiben zu können. Zur Popularität von Fraktalen hat aber vermutlich weniger die wissenschaftliche Bedeutung als vielmehr die Möglichkeit beigetragen, am Computer mit einfachen Algorithmen Bilder von hohem ästhetischem Reiz zu erzeugen. Das berühmteste von ihnen ist wohl das „Apfelmännchen“ bzw. die Mandelbrot-Menge. In ihren Randbereichen zeigt sie bei jeder Vergrösserung ähnliche, aber immer wieder neue und verblüffend schöne Strukturen.
Was haben die Fraktale nun mit den Fibonacci-Zahlen zu tun? Die unterschiedlich grossen Apfelformen der Mandelbrot-Menge entstehen in verschiedenen Perioden der Wiederholung von mathematischen Algorithmen. Betrachtet man nun diese Apfelformen, lässt sich feststellen, dass zwischen einem Apfel der Periode 2 und einem Apfel der Periode 3 der Apfel der Periode 5 der grösste ist. Genauso ist zwischen dem Apfel der Periode 5 und dem Apfel der Periode 3 der Apfel der Periode 8 am grössten. Und zwischen dem Apfel der Periode 8 und dem Apfel der Periode 5 ist es der Apfel der Periode 13.
Die Strukturen der Fibonacci-Folge und des Goldenen Schnitts scheinen in unserer Umgebung also überall aufzutauchen. Wenn auch nicht alle vermeintlichen Zusammenhänge auf Gesetzmässigkeiten beruhen müssen, sondern durchaus zufällig zustande kommen können, ist die Bedeutung dieses mathematischen Prinzips erstaunlich.
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